Energía cinética de una partícula
20.06.2014 09:41
Energía cinética de una partícula
Si la velocidad de un cuerpo es una fracción significante de la velocidad de la luz, es necesario utilizar mecánica relativista para poder calcular la energía cinética. En relatividad especial, debemos cambiar la expresión para el momento lineal y de ella por interacción se puede deducir la expresión de la energía cinética:
E_c = m \gamma c^2 - m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m c^2
Tomando la expresión relativista anterior, desarrollándola en serie de Taylor y tomando únicamente el término (1/2)m(v^2/c^2) se recupera la expresión de la energía cinética típica de la mecánica newtoniana:2
E_c = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2=
mc^2\left [\frac{1}{2}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)+
\frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+...\right] = \frac{1}{2}mv^2
Se toma únicamente el primer término de la serie de Taylor ya que, conforme la serie progresa, los términos se vuelven cada vez más y más pequeños y es posible despreciarlos.
La ecuación relativista muestra que la energía de un objeto se acerca al infinito cuando la velocidad v se acerca a la velocidad de la luz c, entonces es imposible acelerar un objeto a esas magnitudes. Este producto matemático es la fórmula de equivalencia entre masa y energía, cuando el cuerpo está en reposo obtenemos esta ecuación:
E_0 = m c^2 \!
Así, la energía total E puede particionarse entre las energías de las masas en reposo más la tradicional energía cinética newtoniana de baja velocidad. Cuando los objetos se mueven a velocidades mucho más bajas que la luz (ej. cualquier fenómeno en la tierra) los primeros dos términos de la serie predominan.
La relación entre energía cinética y momentum es más complicada en este caso y viene dada por la ecuación:
E_c = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2
Esto también puede expandirse como una serie de Taylor, el primer término de esta simple expresión viene de la mecánica newtoniana. Lo que sugiere esto es que las fórmulas para la energía y el momento no son especiales ni axiomáticas pero algunos conceptos emergen de las ecuaciones de masa con energía y de los principios de la relatividad.