Energía cinética de un sólido en rotación
20.06.2014 09:43
Energía cinética de un sólido en rotación
A diferencia del caso clásico la energía cinética de rotación en mecánica relativista no puede ser representada simplemente por un tensor de inercia y una expresión cuadrática a partir de él en el que intervenga la velocidad angular. El caso simple de una esfera en rotación ilustra este punto; si suponemos una esfera de un material suficientemente rígido para que podamos despreciar las deformaciones por culpa de la rotación (y por tanto los cambios de densidad) y tal que su velocidad angular satisfaga la condición \scriptstyle \omega R < c se puede calcular la energía cinética \scriptstyle E_c a partir de la siguiente integral:
E_c + m_0c^2 = \int_S \frac{c^2 dm}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =
2\pi \int_{r=0}^{r=R} \int_{\theta = 0}^{\theta = \pi}
\frac{\rho c^2}{\sqrt{1-\frac{r^2\omega^2}{c^2}}} r^2\sin \theta drd\theta
Integrando la expresión anterior se obtiene la expresión:
E_c = \frac{3}{2}m_0c^2 \left(\frac{c}{R\omega}\right)^2
\left[ 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{R\omega}{c}-\frac{c}{R\omega}\right)
\ln \left(\frac{c+R\omega}{c-R\omega} \right) \right]
- m_0c^2
Comparación entre la expresión para la energía cinética de una esfera de acuerdo con la mecánica clásica y la mecánica relativista (aquí R es el radio, ω la velocidad angular y m0 la masa en reposo de la esfera.
Para una esfera en rotación los puntos sobre el eje no tienen velocidad de traslación mientras que los puntos más alejados del eje de giro tienen una velocidad \scriptstyle \omega R, a medida que esta velocidad se aproxima a la velocidad de la luz la energía cinética de la esfera tiende a crecer sin límite. Esto contrasta con la expresión clásica que se da a continuación:
E_c = \frac{1}{2}I \omega^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} m_0R^2\right) \omega^2
Paradójicamente, dentro de la teoría especial de la relatividad, el supuesto de que es posible construir un sistema rotar progresivamente más rápido un esfera sobre su eje, lleva a que los puntos más alejados del eje de giro alcancen la velocidad de la luz aplicando al cuerpo una cantidad finita de energía (E_c = mR^2\omega^2/2). Lo cual revela que el supuesto no puede ser correcto cuando algunos puntos de la periferia del sólido están moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz.