Energía cinética en mecánica cuántica
En la mecánica cuántica, el valor que se espera de energía cinética de un electrón, \langle\hat{T}\rangle, para un sistema de electrones describe una función de onda \vert\psi\rangle que es la suma de un electrón, el operador se espera que alcance el valor de:
\langle\hat{T}\rangle = -\frac{\hbar^2}{2 m_e}\bigg\langle\psi \bigg\vert \sum_{i=1}^N \nabla^2_i \bigg\vert \psi \bigg\rangle
donde m_e es la masa de un electrón y \nabla^2_i es el operador laplaciano que actúa en las coordenadas del electrón iésimo y la suma de todos los otros electrones. Note que es una versión cuantizada de una expresión no relativista de energía cinética en términos de momento:
E_c = \frac{p^2}{2m}
El formalismo de la funcional de densidad en mecánica cuántica requiere un conocimiento sobre la densidad electrónica, para esto formalmente no se requiere conocimientos de la función de onda.
Dado una densidad electrónica \rho(\mathbf{r}), la funcional exacta de la energía cinética del n-ésimo electrón es incierta; sin embargo, en un caso específico de un sistema de un electrón, la energía cinética puede escribirse así:
T[\rho] = \frac{1}{8} \int \frac{ \nabla \rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla \rho(\mathbf{r}) }{ \rho(\mathbf{r}) } d^3r
donde T[\rho] es conocida como la funcional de la energía cinética de Von Weizsacker.